Родился Иван Квасов 26 сентября 1922 года в селе Азовка Бобровского района. Окончил семилетнюю школу и школу фабрично-заводского обучения при воронежском авиазаводе № 18, работал на заводе в Боброве.
В 1941 году был призван в армию Бобровским военкоматом. В 1943-м окончил Харьковское танковое училище. Сражался на Западном, Брянском, Южном, 1-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах. Участвовал в Орловской стратегической наступательной операции, разгроме Болховской группировки противника.
Во время боя за высоту Высокая в Болховском районе взвод Ивана Квасова уничтожил два танка противника и отделение автоматчиков. Когда из горящего танка выбирался командир батальона, Иван прикрывал его своим огнём. В этом бою танк Квасова получил повреждение, молодой лейтенант был ранен, но всё-таки отвёл свою боевую машину с поля битвы. За этот подвиг Иван Квасов получил первый свой орден — Отечественной войны 1-й степени.
Иван Квасов осенью 1943 года участвовал в нескольких наступательных операциях — Донбасской стратегической операции, Мелитопольской, весной 1944-го — в Проскуровско-Черновицкой, летом того же года — в Белорусской стратегической наступательной операции, затем в Люблин-Брестской наступательной операции.
В этой операции 23 июля 1944 года в бою за город Радзынь-Подляски Люблинского воеводства (Польша) старший лейтенант Иван Квасов с сослуживцами на двух танках Т-34 вступил в бой с тремя самоходными орудиями гитлеровцев. Все три орудия были уничтожены. Иван Квасов за этот бой был награждён орденом Красной Звезды.
К январю 1945 года капитан Иван Квасов командовал танковой ротой 3-го танкового батальона 65-й танковой бригады 11-го танкового корпуса 69-й армии 1-го Белорусского фронта. С 14 января Иван Квасов участвовал в Варшавско-Познанской наступательной операции — этапе Висло-Одерской стратегической наступательной операции.
15 января 1945 года танковая рота капитана Квасова у населённого пункта Винцентув в Польше разгромила колонну штабных машин, были захвачены карты и другие ценные документы; уничтожены один генерал, 16 офицеров, захвачено 23 автомашины и два бронетранспортёра.
На следующий день в районе села Мнишек рота под командованием Ивана Квасова разгромила ещё одну колонну противника, отходившую из города Радом. Наши бойцы захватили шесть 88-миллиметровых зенитных орудий, 23 зенитные пушки, один танк и 200 автомашин с военным грузом.
Цитата из наградного листа на капитана Ивана Ивановича Квасова: «23.1.45 в боях за город Шримм Квасов первым ворвался в город, очищая его от автоматчиков, снабженных фаустпатронами, совершил исключительно героический подвиг.
С группой автоматчиков из 5 человек штурмовал 6 дотов, вступил в рукопашную схватку с группой автоматчиков противника, лично уничтожил из пистолета и кинжалом 8 солдат и 3 офицеров противника.
25.1.45 года, действуя в ночном рейде по тылам противника в направлении города Грец, в районе населенного пункта Пшенинов, с 5:00 до 14:00 отразил 5 контратак противника численностью до полка пехоты. С группой автоматчиков вторично вступил в рукопашную схватку с группой гитлеровцев. Действуя кинжалом, уничтожил 15 гитлеровцев.
При отражении контратак противника рота под его командованием уничтожила 160 гитлеровцев, в том числе командира полка.
Достоин присвоения звания Героя Советского Союза.
Командир батальона капитан Павлов».
4 апреля 1945-го Квасов получил тяжёлое ранение в бою, был отправлен в госпиталь, где скончался от ран. Данные о дате гибели разнятся — по одним документам, Иван Квасов скончался 5 апреля 1945 года (к примеру, это следует из копии приказа ГУК от 24 августа 1945-го об исключении из списков армии капитана Квасова). Однако в справке из госпиталя написано, что тяжелораненый капитан Квасов Иван Иванович был доставлен в госпиталь 4 апреля и вечером того же дня, в 23 часа, его не стало. Как сообщается на сайте «Память народа», наш земляк похоронен в братской могиле в г. Цыбинка (Польша).
А дома, в селе Азовка, осталась его мама — Анисья Фёдоровна Квасова так и не дождалась с войны сына...
За свои подвиги Иван Квасов был награждён орденом Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды, орденом Красного Знамени, медалью «За отвагу», двумя орденами Ленина.
31 мая 1945 года отважному капитану Ивану Квасову было посмертно присвоено высокое звание Героя Советского Союза.
В городе Боброве имя Ивана Квасова носят улица и переулок, на площади установлен бюст героя.
